李冶的著作表明中国的数学家对高次方程（天元术）的研究已达到了极高的水平。这位和秦九韶、杨辉同时代的北方数学家批评了当时读经的知识分子中把数学视为九九贱技的思想。在谈到数学的意义时他说道：“谓数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可。何则，彼冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也。”（《测圆海镜·序》）自然之数反映自然之理，这是对数学和自然界事物规律性关系的正确认识。另外，他同时也指出数的关系“远而乾坤端绪，幽而神情鬼状……大可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物”。李冶的这些思想是无愧于大数学家称号的。

李冶成长在金代，开始专门研究数学在元代，他的主要著作都是在金亡十几年后才写成的。可以设想，如果他像他的同时代人刘秉忠、许衡、姚枢等人那样去元朝宫廷做官，那么他可能就没有很多的精力来完成数学方面的研究。但也可以肯定，他的家产和在金朝做官时的积蓄完全可以支持他简朴的学术生活，否则他也无法完成数学的著述和研究。

（六）元朝科技

天时和历史命运

蒙古族居住在额尔古纳河上游，唐代称为蒙兀室韦，同建立北魏的鲜卑、建立辽的契丹和建立金的女真等同属于汉人所说的东胡。蒙古族传说自己是苍狼白鹿之后。他们过着黑车白帐，随水草而徙的生活。宋辽夏金政权在近年中，彼此对峙，无力北顾，草原上的蒙古族部落得到了自由发展的机会。在南宋和金朝时代，蒙古族在游牧过程中向西发展，其西部部落已进入昔日为匈奴故地的蒙古高原中西部，与畏兀尔（回鹘或维吾尔）毗连。年，成吉思汗统一了蒙古各部落。

这时宋金都已在多年交兵中损尽元气，在政治上均无清明之气，经济上面临困境，人民反抗时起时伏。西夏政权偏安一隅，但已近迟暮之年。成吉思汗有了向南发展、各个击破这几个政权的历史时机。对西夏、金和南宋来说，正是所谓“高原水出山河改，战地风来草木腥”了。

在西方，强大的阿拉伯帝国已四分五裂，塞尔柱土耳其人在中亚和西亚扩张的浪潮已经平息，花刺子模王国也已进入分裂衰朽时期。欧洲封建王公和天主教会组织的十字军、拜占廷帝国、阿拉伯人、土耳其人之间的战争消耗了各方的力量。因而，蒙古骑兵从亚洲草原上的西进是难以阻挡的了。

从成吉思汗称大汗的年到南宋消亡的年间，经过成吉思汗和他的子孙们的军事扩张，一个从东亚横亘到东欧的世界历史上空前绝后的大帝国——蒙古帝国建立起来了。年，元世祖忽必烈进攻日本的十几万大军遭暴风全军覆没，蒙古帝国的扩张止于海洋。

北方之马力，中原之技巧